La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio. Para aproximar 𝑦𝑖+1 conociendo 𝑦′ = 𝑓 𝑡, 𝑦 se obtiene el algoritmo: 𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ + 1 2! 𝑓′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ2 + 1 3! 𝑓′′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ3 + ⋯ + 1 𝑛! 𝑓 𝑛−1 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ 𝑛 Donde n es el orden del método de Taylor y además se tiene como condición inicial 𝑦0 = 𝛼 con 𝑖 = 0, 1, 2,…, 𝑛 - 1. Como se puede esperar en este método se necesitaran aplicar derivadas implícitas debido a la aparición del término 𝑓′ que depende de 𝑡, 𝑦. A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen( x ) , centradas en 0, de grados 1 ,...
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El problema central consiste en resolver una ecuación diferencial de primer orden, una vez que se conoce un punto por el que pasa la curva solución. Antes de tratar de resolver un problema de valor inicial, nos gustaría saber si existe una solución única. Además, como los problemas que se obtienen de la observación de fenómenos físicos generalmente son sólo una aproximación a situación real, es interesante saber si al introducir cambios pequeños en el enunciado del problema estos ocasionan correspondientemente cambios pequeños en la solución. Es importante tener presente que existe la posibilidad de cometer errores de redondeo, cuando se utilizan métodos numéricos. Entre las diversas formas de analizar el error están: Error Absoluto que viene dado por: Error Relativo que viene dado por: Error Porcentual que viene dado por:
Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son procedimientos utilizados para encontrar aproximaciones numericas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como integración numérica, aunque este término a veces se toma para significar el cálculo de una integración. Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando funciones típicas ("análisis"). Sin embargo, a efectos prácticos, como en ingeniería, una aproximación numérica a la solución suele ser suficiente. Los algoritmos estudiados aquí pueden usarse para calcular tal aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo infinitesimal para obtener una expansión en serie de la solución. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchas disciplinas científicas, por ejemplo, en física, química, biología y economía. Además, algunos métodos en ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten una ecuación diferencial par...