Nociones Preliminares

El problema central consiste en resolver una ecuación diferencial de primer orden, una vez que se conoce un punto por el que pasa la curva solución. Antes de tratar de resolver un problema de valor inicial, nos gustaría saber si existe una solución única. Además, como los problemas que se obtienen de la observación de fenómenos físicos generalmente son sólo una aproximación a situación real, es interesante saber si al introducir cambios pequeños en el enunciado del problema estos ocasionan correspondientemente cambios pequeños en la solución. Es importante tener presente que existe la posibilidad de cometer errores de redondeo, cuando se utilizan métodos numéricos. Entre las diversas formas de analizar el error están:

Error Absoluto que viene dado por:

Error Relativo que viene dado por:

Error Porcentual que viene dado por:

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Método de Euler y Euler modificado

Método de Euler El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo: Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; osea: de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que: . La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como . Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto...

Método de Adams-Moulton

Los métodos de Adams-Moulton se parecen a los métodos de Adams-Bashforth en que también tienen y . De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible. Sin embargo, los métodos de Adams-Moulton son métodos implícitos. Al eliminar la restricción de que , un método de Adams-Moulton "paso a paso" puede alcanzar el orden , mientras que los métodos de Adams-Bashforth en el paso s solo tienen orden s . Los métodos de Adams-Moulton con s = 0, 1, 2, 3, 4 son ( Hairer, Nørsett y Wanner, 1993 , §III.1; Quarteroni, Sacco y Saleri, 2000 ): {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(este paso es el método de Euler hacia atrás)}}\\y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\qquad {\text{(este paso es la regla trapezoidal)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f...

Método de Milne-Simpson

Este método es múltipaso y además predictor corrector, esta dado por: este método es de O(H4). Se requieren 4 puntos para aplicarlo. Como uno de ellos es la condición inicial solo hacen falta 3. Estos valores se calculan por otro método. Este método también puede expresarse como un método implícito. En ese caso tenemos para la ecuación del corrector: El calculo es análogo al del método de Euler Mejorado implícito. Existe una tercera versión de este método. En esta se utiliza la idea de extrapolación, que se empleo para la integración de Romberg. Esta consiste en tomar en cuenta el error de truncamiento tanto de la formula del predictor como del corrector, es decir si despreciamos el error de redondeo al sumar el error de truncamiento tenemos el valor real de yi+1. Se conoce la expresión para ambos errores de truncamiento. Si suponemos que son iguales es posible despejarlo de las 2 ecuaciones con lo cual; tenemos una expresión para el error. Esta puede sumarse ...

Solución Numérica de ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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