Método de la serie de Taylor

La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio. Para aproximar 𝑦𝑖+1 conociendo 𝑦′ = 𝑓 𝑡, 𝑦 se obtiene el algoritmo:

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ + 1 2! 𝑓′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ2 + 1 3! 𝑓′′ 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ3 + ⋯ + 1 𝑛! 𝑓 𝑛−1 𝑡𝑖, 𝑦𝑖 ℎ 𝑛

Donde n es el orden del método de Taylor y además se tiene como condición inicial 𝑦0 = 𝛼 con 𝑖 = 0, 1, 2,…, 𝑛 - 1. Como se puede esperar en este método se necesitaran aplicar derivadas implícitas debido a la aparición del término 𝑓′ que depende de 𝑡, 𝑦.

A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

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