Método de Adams-Moulton

Los métodos de Adams-Moulton se parecen a los métodos de Adams-Bashforth en que también tienen  y . De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible. Sin embargo, los métodos de Adams-Moulton son métodos implícitos. Al eliminar la restricción de que , un método de Adams-Moulton "paso a paso" puede alcanzar el orden , mientras que los métodos de Adams-Bashforth en el paso s solo tienen orden s.

Los métodos de Adams-Moulton con s = 0, 1, 2, 3, 4 son (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, §III.1; Quarteroni, Sacco y Saleri, 2000):

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(este paso es el método de Euler hacia atrás)}}\\y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\qquad {\text{(este paso es la regla trapezoidal)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$

La deducción de los métodos de Adams-Moulton es similar a la del método de Adams-Bashforth; sin embargo, el polinomio de interpolación utiliza no solo los puntos ${\displaystyle t_{n-1},\dots ,t_{n-s}}$, como anteriormente, sino también ${\displaystyle t_{n}}$. Los coeficientes vienen dados por

${\displaystyle b_{s-j}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s}(u+i-1)\,du,\qquad {\text{para }}j=0,\ldots ,s.}$

Los métodos de Adams-Moulton se deben únicamente a John Couch Adams, al igual que los métodos de Adams-Bashforth. El nombre de Forest Ray Moulton se asoció con estos métodos porque se dio cuenta de que podrían ser utilizados en tándem con los métodos de Adams-Bashforth como un par de métodos predictor-corrector (Moulton, 1926); Milne (1926) tenía la misma idea. Adams utilizó el método de Newton para resolver la ecuación implícita (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, §III.1).