Método de Euler y Euler modificado

Método de Euler

El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

$PVI = \left \{ \begin{array}{rcl} {dy\over dx} = f(x,y)\\ y(x_0) = y_0\\ y(x_i)=? \end{array} \right .$

Consiste en multiplicar los intervalos que va de $x_o\,$ a $x_f\,$ en $n\,$ subintervalos de ancho $h\,$ ; osea:

$h = {x_f - x_o \over n}\,$

de manera que se obtiene un conjunto discreto de $n+1 \,$ puntos: $x_o, x_1, x_2,.......,x_n\,$ del intervalo de interes $[x_o,x_f]\,$ . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

$x_i = {x_0 + ih}, \,$ $0 \le i \le n \,$ .

La condición inicial $y(x_o) = y_o \,$ , representa el punto $P_o = (x_o, y_o)\,$ por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como $F(x)= y \,$ .

Ya teniendo el punto $P_o\,$ se puede evaluar la primera derivada de $F(x)\,$ en ese punto; por lo tanto:

$F'(x) = {dy\over dx} \bigg\vert\begin{matrix}\\{P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,$

Grafica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por $P_o\,$ y de pendiente $f(x_o, y_o)\,$ . Esta recta aproxima $F(x)\,$ en una vecinidad de $x_o \,$ . Tómese la recta como reemplazo de $F(x) \,$ y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a $x_1\,$ . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

${y_1 - y_o\over x_1 - x_o} = f(x_o,y_o) \,$

Se resuelve para $y_1\,$ :

$y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,$

Es evidente que la ordenada $y_1 \,$ calculada de esta manera no es igual a $F (x_1)\,$ , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor $y_1 \,$ sirve para que se aproxime $F' (x) \,$ en el punto $P = (x_1,y_1)\,$ y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

$\begin{array}{crl} y_1 = y_o + h f (x_o,y_o)\\ y_2 = y_1 + h f (x_1,y_1)\\ .\\ .\\ .\\ y_{i+1} = y_i + h f (x_i,y_i)\\ .\\ .\\ .\\ y_n = y_{n-1} + h f (x_{n-1},y_{n-1})\\ \end{array} \quad \,$

Método de Euler Modificado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Monografias.com

Donde

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Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

Monografias.com En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto Monografias.com como la aproximación de Euler mejorada.