Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.

Sea

$y'(t) = f(t, y(t)) \,$

una ecuación diferencial ordinaria, con $f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ donde $\Omega \,$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

$(t_0, y_0) \in \Omega.$

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

$y_{n+1} = y_n + h\,\sum_{i=1}^s b_ik_i$ ,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento $\Delta t_n$ entre los sucesivos puntos t_n y $t_{n+1}$ . Los coeficientes k_i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

$k_i = f \left( t_n + h\, c_i\, , y_n + h\,\sum_{j=1}^s a_{ij}k_j \right ) \quad i=1,...,s.$

con $a_{ij}, b_i, c_i$ coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes $a_{ij}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, $a_{ij}=0$ para j=i,...,s , los esquemas son explícitos.

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