Solución Numérica de ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los métodos de Adams-Moulton se parecen a los métodos de Adams-Bashforth en que también tienen   y  . De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible. Sin embargo, los métodos de Adams-Moulton son métodos implícitos. Al eliminar la restricción de que  , un método de Adams-Moulton "paso a paso" puede alcanzar el orden  , mientras que los métodos de Adams-Bashforth en el  paso s  solo tienen orden  s . Los métodos de Adams-Moulton con  s  = 0, 1, 2, 3, 4 son ( Hairer, Nørsett y Wanner, 1993 , §III.1;  Quarteroni, Sacco y Saleri, 2000 ): {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(este paso es el método de Euler hacia atrás)}}\\y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\qquad {\text{(este paso es la regla trapezoidal)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f...

 Este método es múltipaso y además predictor corrector, esta dado por:   este método es de O(H4). Se requieren 4 puntos para aplicarlo. Como uno de ellos es la condición inicial solo hacen falta 3. Estos valores se calculan por otro método. Este método también puede expresarse como un método implícito. En ese caso tenemos para la ecuación del corrector:   El calculo es análogo al del método de Euler Mejorado implícito. Existe una tercera versión de este método. En esta se utiliza la idea de extrapolación, que se empleo para la integración de Romberg. Esta consiste en tomar en cuenta el error de truncamiento tanto de la formula del predictor como del corrector, es decir   si despreciamos el error de redondeo al sumar el error de truncamiento tenemos el valor real de yi+1. Se conoce la expresión para ambos errores de truncamiento. Si suponemos que son iguales es posible despejarlo de las 2 ecuaciones con lo cual; tenemos una expresión para el error. Esta puede sumarse ...

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

  El  método de Runge-Kutta  es un método genérico de resolución numérica de  ecuaciones diferenciales . Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año  1900  por los matemáticos  C. Runge  y  M. W. Kutta . Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de  ecuaciones diferenciales ordinarias , concretamente, del problema de valor inicial . Sea una ecuación diferencial ordinaria, con   donde   es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea Entonces el método RK (de orden  s ) tiene la siguiente expresión, en su forma más general: , donde  h  es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento   entre los sucesivos puntos   y  . Los coeficientes   son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local...

Método de Euler  El método de  Euler   es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos. El  método de Euler  es el más simple de los  métodos numéricos  resolver un problema del siguiente tipo: Consiste en multiplicar los intervalos que va de   a   en   subintervalos de ancho  ; osea: de manera que se obtiene un conjunto discreto de   puntos:   del intervalo de interes  . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:   . La condición inicial  , representa el punto   por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como  . Ya teniendo el punto   se puede evaluar la primera derivada de   en ese punto...